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Gestion des stock : la formule de Wilson

Wilson n’est pas seulement une marque de raquette de tennis : c’est aussi le nom d’une formule utilisée en gestion pour déterminer la quantité optimale de stock à commander. Par exemple en concession, les magasiniers doivent toujours avoir des stocks de pièces de rechange à disposition de l’atelier et des clients afin que les réparations puissent être faites au plus vite. Mais quand il y a plus de 10 000 pièces différentes dans le magasin (essuie-glaces, filtres à air, pots catalytiques, pneus, plaquettes de frein, amortisseurs, courroies, batteries…) il vaut mieux avoir des méthodes standardisées pour faciliter les décisions !

pieces-detachees-auto

La difficulté vient du fait que toutes les pièces ne se vendent pas avec la même fréquence : il sera intéressant pour le magasinier d’avoir toujours en stock beaucoup d’ampoules qui ont un cout d’achat assez faible, ne prennent pas beaucoup de place et sont communes à plusieurs modèles de voitures. Par contre, il n’aura pas besoin de garder en masse des pots catalytiques plus chers, plus volumineux et qu’on change moins souvent.

Les variables

L’idée générale est donc la même : optimiser la quantité des commandes de stock pour minimiser les cout d’approvisionnement et de stockage tout en évitant les ruptures de stocks qui pourraient faire perdre des clients. Mais on l’a compris, cette optimisation est spécifique à chaque pièce : on peut donc employer une formule générale dont les variables changeront selon la pièce concernée.

La quantité de stock optimale à commander est notée Q* (l’étoile veut dire que c’est optimal). Elle va dépendre de D, la demande annuelle pour la pièce (nombre d’unités vendues par an), de K, le cout de la commande (par exemple la livraison) et h, le cout de stockage de la pièce sur un an. La formule est la suivante :

qtite optimale

Et c’est logique : si une pièce est beaucoup demandée (D est grand) on va faire de grosses commandes. De même, si les frais de port sont élevés (K est grand), on va rentabiliser les commandes en les faisant plus grosses. A l’inverse, si le stockage est couteux (h est grand) par exemple à cause de la location de l’entrepôt, on préfèrera faire des commandes plus petites.

Et d’où elle sort cette jolie formule ?

Cette formule a été inventée par… et bien pas par Wilson tiens ! Wilson l’a beaucoup appliqué, mais ce serait un Harris W. Ford qui en serait à l’origine. Il a simplement posé le problème d’optimisation qui permet de trouver la quantité d’une commande en langage mathématique (on dit aussi modéliser).

L’idée, c’est que pour notre magasinier, le cout total (CT) d’une commande de stock est la somme du cout d’achat des pièces + le cout de la passation de la commande (taxes, frais de port…) + le cout de stockage. En langage mathématique ça donne :

equation cout« c » est le prix d’achat unitaire, donc cD est le cout d’achat pour toute les pièces qu’il faut acheter.

  • Le cout de passer une commande est estimé par DK/Q. Ce n’est qu’une estimation, un choix : quand on traduit du français vers l’anglais, il faut des fois trouver l’expression qui se rapproche le plus de ce que l’on veut dire, c’est pareil quand on traduit du français vers les maths 😉 . L’intérêt de cette expression, c’est qu’elle reflète le fait que ce cout est plus élevé si la demande est élevée (il va falloir faire plusieurs commandes dans l’année), mais en même temps le cout diminue si on regroupe les commandes (Q plus grand).
  • Pour estimer le cout de stockage, on multiplie le cout unitaire h par la quantité en stock. Mais celle-là on ne la sait pas ! Alors on dit qu’elle se situe quelque part entre 0 et Q (la quantité qu’on commande). Le plus simple étant de prendre la moyenne, c’est donc Q/2^^

Quand on est magasinier, on veut choisir la commande (Q) pour minimiser le cout total (CT). En langage mathématique : on fait un programme de minimisation de la fonction CT(Q).

La minimisation du cout

On veut donc minimiser la fonction CT(Q) qui est la fonction qui donne pour chaque quantité de commande Q le cout total CT correspondant. Voici à quoi ressemble cette fonction :

Graph methode WilsonCette courbe du coup total (CT) représente le fait que dans un premier temps, plus la quantité des commandes augmente et plus elles sont rentables. Mais arrivé à un seuil (Q*), la tendance s’inverse. Si les commandes sont trop grosses, ça veut dire qu’on en fait moins et au bout d’un moment, ça créé des ruptures de stocks. Pour optimiser sa commande de pièces, notre magasinier voudra donc choisir la quantité Q* pour laquelle le cout total est le plus bas (CTmin).

Comme la courbe est simple (une parabole), ce n’est pas trop compliqué de trouver le Q* mathématiquement. Il s’agit du point au milieu, entre la partie de la courbe qui descend et celle qui monte. En maths, quand une courbe descend, on dit que sa dérivée est négative et quand elle monte, on dit qu’elle est positive. Donc notre Q*, il est juste à l’endroit ou la courbe ne monte pas ni ne descend : là on dit que sa dérivée est nulle (égale à 0).

Voilà pourquoi pour trouver Q*, on doit simplement calculer la dérivée de la fonction CT et dire qu’elle est égale à 0. Là vous me direz : on fait comment pour trouver cette dérivée magique ? C’est la partie un peu moins drôle, mais qu’on peut tout fait résoudre en appliquant quelques règles qu’on trouve sur wikipédia :

equation cout

Sa dérivée est :

Image1

Du coup, on veut juste résoudre cette expression :

equation equivEt le résultat c’est :

qtite optimale

Magique ! :) C’est la formule de Wilson ! Elle a donc bien été obtenue par une minimisation du cout (on choisi la quantité telle que le cout final soit le moins élevé, ce qui est logique).

Code SIREN et code SIRET

Les codes SIREN et SIRET sont des numéros donnés respectivement aux entreprises et à leurs établissements (SIREN : Système d’Identification du Répertoire des ENtreprises / SIRET : Système d’Identification du Répertoire des ETablissement). En France, chaque personne a un nom et un numéro de sécurité sociale par exemple. Pour les entreprises, elles ont aussi un nom (on dit « raison sociale ») et on leur attribue un numéro : le SIREN. Une entreprise peut exercer son activité dans plusieurs établissements distants auxquels on donne un numéro SIRET. Il est formé à partir du numéro SIREN auquel on rajoute un suffixe (qu’on appelle NIC) :

siren

Exemple du constructeur automobile français Renault

Raison sociale : RENAULT SAS, SIREN : 780 129 987

Le siège social est à Boulogne Billancourt et son SIRET est 780 129 987 03591

Un établissement secondaire est à Marseille et son SIRET est : 780 129 987 03971

Le Répertoire SIRENE de l’INSEE

sirèneLe SIREN et le SIRET sont tous deux des codes INSEE, c’est à dire des numéro administratifs délivrés par l’Institut National de la statistique et des études économiques. Ces codes sont ensuite accéssible sur la base de données de l’INSEE, dans le répertoire SIRENE.

Pour connaitre les différents établissements notre concessionnaire Fiat de Paris, il nous suffit de nous rendre sur www.insee.fr dans l’onglet Base de données, Répertoire Sirene et Obtenir une fiche d’identité.

Voici un extrait du résultat pour notre exemple Renault (Siren : 780 129 987)

Etablissement siège ou établissement principal
Etablissement siège ou établissement principal
état nic désignation adresse commune
Actif 03591 RENAULT SAS 13 QUAI ALPHONSE LE GALLO 92
BOULOGNE BILLANCOURT

Liste des établissements actifs
Etablissements actifs (28 affichés)
écho nic désignation adresse commune
1 03997 RENAULT SAS 8 RUE KONRAD ADENAUER 59
WASQUEHAL
2 03989 RENAULT SAS LA MALLE 13
BOUC BEL AIR
3 03971 RENAULT SAS 20 TRA DE LA BUZINE 13
MARSEILLE 11
4 03963 RENAULT COURTE DUREE – RCD 22 RUE YVES KERMEN 92
BOULOGNE BILLANCOURT